Factoriser un nombre semi premier p consiste donc à trouver x et y tel que
x² – y ² = p
Une méthode intuitive consiste à faire les soustractions successives de p, de façon ordonnée, par les membres de la suite des nombres impairs, jusqu’à tomber sur la valeur absolue d’un nombre carré.
Exemple :
Nous devons factoriser le nombre semi-premier p = 247.
La suite des nombres impairs est : { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; n ; n+2 }
Nous faisons les soustractions successives jusqu’à tomber sur la valeur absolue d’un carré :
247 – 1 = 246
246 – 3 = 243
243 – 5 = 238
238 – 7 = 231
231 – 9 = 222
222 – 11 = 211
211 – 13 = 198
198 – 15 = 183
183 – 17 =166
166 – 19 = 147
147 -21 = 126
126 – 23 = 103
103 – 25 = 78
78 – 27 = 51
51 – 29 = 22
22 – 31 = -9 et abs(-9) = 9 qui est le carré de 3
3² est donc l’un des membres qui permet de factoriser 247.
Nous ajoutons donc 3² à 247, ce qui donne l’autre membre qui permet de factoriser 247.
3² + 247 = 256 = 16²
Nous pouvons donc écrire :
247 = 16² – 3²
NOTA BENE :
Nous pouvons également procéder par additions successives au lieu des soustractions successives.
1 ère addition : 247+1 = 248
2 éme addition : 248+3 = 251
3 éme addition : 251+5 = 256
Or 256 est les carré de 16 ; nous faisons la soustraction de 256 – 247 qui nous donne l’autre membre carré qui permet de factoriser 247 :
256 – 247 = 9 c’est à dire 256 – 247 = 3²
Nous pouvons donc écrire que 247 = 16² – 3²
N.B.: Nous pouvions aussi dénombrer le nombre d’additions qu’il a fallu faire pour arriver à un résultat de carré ; ici il nous a fallu faire 3 additions avant d’arriver à 256 qui est le carré de 16, donc 3² est l’autre membre cherché.